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数学、殊に抽象代数学における多項式環（たこうしきかん、）は環に係数を持つ一変数または多変数の多項式の全体の集合が成す環である。多項式環はヒルベルトの基底定理や分解体の構成、線型作用素の理解など数学のかなり広い分野に影響をもつ概念である。セール予想のような多くの重要な予想が、他の環の研究に影響をもち群環や形式冪級数環のようなほかの環の定義にさえ影響を及ぼしている。 == 体上の一変数多項式 == === 多項式 === 体 ''K'' に係数を持つ ''X'' に関する多項式とは : の形の式のことである。ここで ''p''0, …, ''p''''m'' は ''K'' の元で、''p'' の係数 といい、''X'', ''X'' 2, … は形式的な記号で ''X'' の冪という。このような式には加法と乗法を定義できて、結合法則、交換法則、分配法則といった代数的な式の操作における通常のルールを用い、同類項を纏めることによって同様の形に持っていくことができる。係数が零であるような項 ''p''''k''''X'' ''k'' (''p''''k'' = 0) は省略することができる。''X'' の冪の乗法は馴染みのある : に従って定義される。''k'' や ''l'' は任意の自然数である。二つの多項式が互いに等しいのは ''X'' の各冪の対応する係数がすべて等しいことと定義される。規約として ''X'' 1 = ''X'', ''X'' 0 = 1 とし、多項式 ''p'' の定義における和は、記号 ''X'' ''m'', …, ''X'' 1, ''X'' 0 の係数 ''p''''m'', …, ''p''1, ''p''0 に関する線型結合として見ることができる。総和の記号を使えば、同じ多項式は : とコンパクトな形の式に書くことができる。この総和の範囲はよく省略されるので、 : のように同じ多項式を書くこともある。多項式には項の数が有限しかないこと、つまり十分大きな ''k'' （ここでは ''k'' > ''m''）に関する ''p''''k'' はすべて零であるということは暗黙の了解である。多項式の次数 とは ''X'' ''k'' の係数が零でないような最大の ''k'' のことである。特別な場合として、零多項式（係数が全て零）の次数は定義しないか、あるいは負の無限大 −∞ と定義する。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「多項式環」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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